1、家庭效用最大化问题

引言中已述，天生察赋和后天教育是研究收人在代际间流动性的两个关键因素。因此参照Becker & Tomes(1979)，我们构建了一个四期的异质性世代交叠模型来研究教育对我国收人的不平等和收人代际流动性的影响。模型中的一期代表巧年，经济中的人口增长是外生的。个体的生命周期分为四个阶段，依次为幼年期(1-15岁)、少年期(16-30岁)，青年期(31-45岁)和壮年期(45-60岁)。在任意时刻，经济也由上述的四类个体组成。经济中的决策单位是家庭，由处于青年期(父母)和幼年期(子女)或处于壮年期(父母)和少年期(子女)的个体组成。下文中，我们用家庭中父母所处的年龄段来代表家庭的年龄，因此整个经济由处于青年期和壮年期的家庭组成。

家庭的决策权掌握在家庭中处于青年期或壮年期的个体中(父母)，处于幼年期和少年期的个体(子女)不参与家庭决策。在家庭壮年期期末，家庭中的父母会退出经济，而处于少年期的个体(子女)会生育后代并在下一期组成新的家庭。

除幼年期外，处于各个阶段的个体在各期均拥有1单位的劳动察赋，劳动的供给是无弹性的。家庭中的父母对子女是单向利他的，这体现在年轻父母和年长父母会分别关心其子女在下一期时的人力资本水平上。由于我国实行9年义务制教育，假定子女6岁人学，家庭的青年期正好包括了义务教育阶段(小学和初中)，而其壮年期则涵盖了高中教育和大学教育阶段。除了年龄之外，青年家庭的异质性体现在家中父母的人力资本水平h，和子女的天生察赋二上;壮年家庭的异质性体现在家中父母的人力资本水平ho，子女的天生察赋二以及经过义务教育投资后子女积累的人力资本分上。下文分别说明青年家庭和壮年家庭各自的最大化问题以及人力资本积累的过程。

1.青年家庭

前文已述，模型中利他的父母关心子女下一期的人力资本水平。给定家庭中父母的人力资本水平，和子女的天生察赋二，青年家庭会将当期收人用于消费和子女的人力资本投资以最大化当期的值函数。具体来说，青年家庭的效用的最大化问题为：

在上述最大化问题中，V_y(h_y，π)为青年家庭的值函数，它取决于家中父母人力资本水平h，和子女的天生能力π;（h_0,π，π）为下一期家庭的值函数，它取决于下一期父母的人力资本水平h^'_o，子女的能力水平二和子女人力资本水平π。π和r分别为当期有效劳动的工资率及税率渭为主观贴现率，cy ,。为青年家庭当期的消费和对子女的教育投资。式(2)描述了青年家庭的预算约束。

为简化起见，家庭既不能借贷，也没有储蓄。①家庭将第一期的所有收人用于消费和对子女的人力

资本投资上。考虑到工作经验也会提升人力资本的水平，我们假设个体从壮年期的人力资本水平是青年期的}7倍(参见式(3))。式(4)描述了当期家庭中年幼子女下一期人力资本π的积累过程，它取决于子女的能力二和后天的教育投入。由于的子女在本期处于9年义务教育阶段，教育投人的来源有二:政府在义务教育阶段的投资g和个体教育投资。②式(4)的具体形式可以写为：

上述设定的意义在于：首先，子女天生能力π越高，子女下期期初积累的人力资本水平分也会

更高。由于子女和父亲的天生能力存在一定的相关性（详见式（18）），因此可以预见，能力在代际间的相关性是导致收人相关性的源泉之一；第二，子女能力给定的情况下，家庭对子女的教育投资。一样可以提升子女的人力资本水平。而下文的数值模拟结果表明，家庭的私人教育投资会随着父亲收人的增高而逐渐提高，高于程度较高的家庭对子女的私人教育投资也会更高—是收人差距进一步扩大和收人代际流动性固化有着重要的贡献；第三，义务教育阶段公共支出和私人教育支出。在人力资本差距方面的作用不同:政府的义务教育支出强调公平，每个适龄儿童所接受的义务教育支出量并不会随着家庭背景和子女个人能力的变化而变化；而私人教育支出则不然，其水平会随着子女能力二和家庭当期收人二，的提高而上升。

    除了相对水平外，政府义务教育支出在缓解收人不平等和增加代际流动性方面的作用还取决于它和私人教育支出的替代互补关系。如果二者为互补关系，提高政府义务教育支出会引致高收人家庭更多的私人教育投资数量，从而减弱义务教育对于代际流动性的提升作用。在国外的实证研究中，eltaman (1973)利用美国教育财政数据的研究发现，针对家庭教育支出的专项补贴对私人的教育支出有很强的替代作用;尽管教育体制存在很大差异，我国针对二者关系的研究也基本支持了上述结论:杨大楷等(2010)运用向量误差修正模型对我国公共教育对私人教育的引导作用进行了估计，他们发现二者在短期内为替代关系，在长期表现为弱互补关系;吴强(2011)利用湖北省1997-2003年省级教育财政和城镇居民调查构成的面板数据发现，公共教育支出的增加对于私人教育支出起替代作用，对于收人越低的群体，其替代性越强;沈百福和杨志平(2013 )通过对2000-2010年我国城镇居民家庭教育支出的数据分析认为，政府对公共教育投人的不断增加，是近年来我国家庭教育支出占家庭消费总支出比例不断减小的主要原因；基于上述实证结果，(6)式假定二者为替代关系。